Question

如图，三个图中的多边形都是正多边形，M，N是所在边的中点，椭圆以图中的F₁、F₂为焦点，设图①、图②、图③中椭圆的离心率分别是e₁、e₂、e₃，则e₁、e₂、e₃的值分别是（　　）

Answer 1

分析：根据条件，设出正多边形的边长，求出几何量a，c，即可得到离心率．

解答：解：①设等边三角形的边长为2，则椭圆的焦点为（±1，0），且过点（

1

2

，

3

2

），
∵（

1

2

，

3

2

）到两个焦点（-1，0），（1，0）的距离分别是

9 4 + 3 4

=

3

和

1 4 + 3 4

=1，
∴a=

3 +1

2

，c=1，∴e₁=

1

3 +1 2

=

3 -1

2

；
②设正六边形的边长为2，则椭圆的焦点为（-2，0）和（2，0），且过点（1，

3

），
∵点（1，

3

）到两个焦点（-2，0）和（2，0）的距离分别为2

3

和2，
∴a=

3

+1，c=2，∴e₂=

2

3 +1

=

3 -1

2

；
③正方形的边长为

2

，则双曲线的焦点坐标为（-1，0）和（1，0），且过点（

1

2

，

1

2

）．
∵点（

1

2

，

1

2

）到两个焦点（-1，0），（1，0）的距离分别是

9 4 + 1 4

=

10

2

和

1 4 + 1 4

=

2

2

，
∴a=

10 + 2

4

，c=1，∴e₃=

1

10 + 2 4

=

10 - 2

2

．
故选B．

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．