Question

如图，三个图中的多边形都是正多边形，M，N是所在边的中点，双曲线以图中的F₁，F₂为焦点，则离心率分别是（　　）

• A．

  3

  +1，

  10

  -

  2

  ，

  3

  +1
• B．

  3 +1

  2

  ，

  10

  +

  2

  ，

  3 +1

  2

• C．

  3 +1

  2

  ，

  10

  -

  2

  ，

  3 +1

  2

• D．

  3

  +1，

  10 + 2

  2

  ，

  3

  +1

Answer 1

分析：利用双曲线的离心率的概念e=

c

a

，对图中的双曲线的离心率逐一计算即可．

解答：解：对于第一个图，设正三角形的边长为2x，依题意，2a=|MF₂|-|MF₁|=

3

x-x=（

3

-1）x，2c=2x，
∴e=

2c

2a

=

2x

( 3 -1)x

=

3

+1；
对于第二个图，设正方形的边长为

2

x，依题意，2a=|MF₂|-|MF₁|；
∵|MF2|2=(

2

x)2+(

2 x

2

)2=

5

2

x²，
∴|MF₂|=

10 x

2

，又|MF₁|=

2

2

x
∴2a=

10

2

x-

2

2

x=

10 - 2

2

x，又2c=|F₁F₂|=2x，
∴e=

2c

2a

=

2x

10 - 2 2 x

=

10 + 2

2

；
对于第三个图，设正六边形的边长为x，依题意，2c=|F₁F₂|=2x，2a=|AF₂|-|AF₁|=

3

x-x=（

3

-1）x，
∴e=

2c

2a

=

2x

( 3 -1)x

=

3

+1；
故选D．

点评：本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的离心率，求得双曲线的实轴长与焦距是关键，属于中档题．