Question

【题目】如图，在多面体，底面是菱形， ， 平面， ， ， ， .

（1）求证： ；

（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：⑴作交于， 交于，连接， ， ，易推出四边形是平行四边形，得出，在推出， ， ，

⑵建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，然后利用公式计算出结果

解析：(Ⅰ)证明：作ME∥PA交AB于E，NF∥PA交AD于F，连接EF，BD，AC.

由PM∥AB，PN∥AD，易得ME綊NF，

所以四边形MEFN是平行四边形，

所以MN∥EF，因为底面ABCD是菱形，

所以AC⊥BD，又易得EF∥BD，所以AC⊥EF，所以AC⊥MN，

因为PA⊥平面ABCD，EF平面ABCD，

所以PA⊥EF，所以PA⊥MN，因为AC∩PA＝A，

所以MN⊥平面PAC，故MN⊥PC.

(Ⅱ)建立空间直角坐标系如图所示，

则C(0，1，0)，M，N，A(0，－1，0)，P(0，－1，2)，B(，0，0)，

所以＝，＝，＝(0，0，2)，＝(，1，0)，

设平面MNC的法向量为m＝(x，y，z)，则

令z＝1，得x＝0，y＝，

所以m＝；

设平面APMB的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则

令x1＝1，得y1＝－，z1＝0，

所以n＝(1，－，0)，

设平面MNC与平面APMB所成锐二面角为α，

则cos α＝＝＝，

所以平面MNC与平面APMB所成锐二面角的余弦值为.