Question

设F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右两个焦点．
（1）若椭圆C上的点A（1，

3

2

）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
（2）已知圆心在原点的圆具有性质：若M、N是圆上关于原点对称的两点，点P是圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记作K_PM、K_PN那么K_PMK_PN=-1．试对椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1写出类似的性质，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由题意知2a=4，把点A（1，

3

2

）代入能推导出椭圆C的方程和焦点坐标．
（2）在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上取关于原点对称的两点M、N，在该曲线上任取不与M、N重合的动点P，直线PM，PN的斜率存在．那么kPM•kPN=-

b2

a2

．
证明：设椭圆方程是

x2

A

+

y2

B

=1(A=a2，B=b2)，设M（m，n），则N（-m，-n），又设P（x，y），（x≠±m，），那么

m2

A

+

n2

B

=1且

x2

A

+

y2

B

=1，由此能够推导出kPM•kPN=

y2-n2

x2-m2

=-

B

A

=-

b2

a2

．

解答：解：（1）由题意知，2a=4，∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

b2

=1，把点A（1，

3

2

）代入，得

1

4

+

9 4

b2

=1，解得b²=3，c²=1，∴椭圆C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1，焦点坐标是F₁（-1，0），F₂（1，0）
（2）在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上取关于原点对称的两点M、N，在该曲线上任取不与M、N重合的动点P，直线PM，PN的斜率存在．那么kPM•kPN=-

b2

a2

证明：设椭圆方程是

x2

A

+

y2

B

=1(A=a2，B=b2)，设M（m，n），则N（-m，-n），又设P（x，y），（x≠±m，），那么

m2

A

+

n2

B

=1①且

x2

A

+

y2

B

=1②
因为kPM•kPN=(

y-n

x-m

)•(

y+n

x+m

)=

y2-n2

x2-m2

，由①知：n2=B-

B

A

m2，由②y2=B-

B

A

x2，所以y2-n2=-

B

A

(x2-m2)，所以kPM•kPN=

y2-n2

x2-m2

=-

B

A

=-

b2

a2

点评：本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的正确选用．