题目内容
设F1、F2分别为椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）若椭圆C上的点A（1，
| 3 |
| 2 |
（2）已知圆心在原点的圆具有性质：若M、N是圆上关于原点对称的两点，点P是圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记作KPM、KPN那么KPMKPN=-1．试对椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
分析：（1）由题意知2a=4，把点A（1，
）代入能推导出椭圆C的方程和焦点坐标．
（2）在椭圆
+
=1上取关于原点对称的两点M、N，在该曲线上任取不与M、N重合的动点P，直线PM，PN的斜率存在．那么kPM•kPN=-
．
证明：设椭圆方程是
+
=1(A=a2，B=b2)，设M（m，n），则N（-m，-n），又设P（x，y），（x≠±m，），那么
+
=1且
+
=1，由此能够推导出kPM•kPN=
=-
=-
．
| 3 |
| 2 |
（2）在椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| b2 |
| a2 |
证明：设椭圆方程是
| x2 |
| A |
| y2 |
| B |
| m2 |
| A |
| n2 |
| B |
| x2 |
| A |
| y2 |
| B |
| y2-n2 |
| x2-m2 |
| B |
| A |
| b2 |
| a2 |
解答：解：（1）由题意知，2a=4，∴椭圆C的方程为
+
=1，把点A（1，
）代入，得
+
=1，解得b2=3，c2=1，∴椭圆C的方程是
+
=1，焦点坐标是F1（-1，0），F2（1，0）
（2）在椭圆
+
=1上取关于原点对称的两点M、N，在该曲线上任取不与M、N重合的动点P，直线PM，PN的斜率存在．那么kPM•kPN=-
证明：设椭圆方程是
+
=1(A=a2，B=b2)，设M（m，n），则N（-m，-n），又设P（x，y），（x≠±m，），那么
+
=1①且
+
=1②
因为kPM•kPN=(
)•(
)=
，由①知：n2=B-
m2，由②y2=B-
x2，所以y2-n2=-
(x2-m2)，所以kPM•kPN=
=-
=-
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| ||
| b2 |
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）在椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| b2 |
| a2 |
证明：设椭圆方程是
| x2 |
| A |
| y2 |
| B |
| m2 |
| A |
| n2 |
| B |
| x2 |
| A |
| y2 |
| B |
因为kPM•kPN=(
| y-n |
| x-m |
| y+n |
| x+m |
| y2-n2 |
| x2-m2 |
| B |
| A |
| B |
| A |
| B |
| A |
| y2-n2 |
| x2-m2 |
| B |
| A |
| b2 |
| a2 |
点评：本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的正确选用．
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