题目内容
（2009•泰安一模）已知双曲线x2-2y2=2的左、右两个焦点为F1，F2，动点P满足|PF1|+|PF2|=4．
（I）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设D（
，0），过F2且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A、B两点，若DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，求直线l的方程．
（I）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设D（
| ||
| 2 |
分析：（I）因为动点P满足|PF1|+|PF2|=4，利用椭圆定义，可知动点P的轨迹为椭圆，且该椭圆以F1、F2为焦点，长轴为4，从而可求椭圆方程；
（Ⅱ）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，利用向量知识，即可得到结论．
（Ⅱ）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，利用向量知识，即可得到结论．
解答：解：（Ⅰ）双曲线的方程可化为
-y2=1，则|F1F2|=2
∵|PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|=2
∴P点的轨迹E是以F1、F2为焦点，长轴为4的椭圆
由a=2，c=
，∴b=1
∴所求方程为
+y2=1；
（Ⅱ）设l的方程为y=k(x-
)，则k≠0
代入椭圆方程可得（1+4k2）x2-8
k2x+12k2-4=0，
设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=
，
∴y1+y2=k（x1+x2-2
）=
∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，
∴（
+
）⊥
∴（
+
）•
=0
∴
-
-
=0
∴k=±
∴l的方程为y=±
(x-
)．
| x2 |
| 2 |
| 3 |
∵|PF1|+|PF2|=4＞|F1F2|=2
| 3 |
∴P点的轨迹E是以F1、F2为焦点，长轴为4的椭圆
由a=2，c=
| 3 |
∴所求方程为
| x2 |
| 4 |
（Ⅱ）设l的方程为y=k(x-
| 3 |
代入椭圆方程可得（1+4k2）x2-8
| 3 |
设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=
8
| ||
| 1+4k2 |
∴y1+y2=k（x1+x2-2
| 3 |
-2
| ||
| 1+4k2 |
∵以DA、DB为邻边的平行四边形为菱形，
∴（
| DA |
| DB |
| AB |
∴（
| DA |
| DB |
| AB |
∴
8
| ||
| 1+4k2 |
| 3 |
2
| ||
| 1+4k2 |
∴k=±
| ||
| 2 |
∴l的方程为y=±
| ||
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查双曲线的性质，考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．
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