题目内容

10．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求|OR|+|OS|的最小值．

分析 （1）由题意可得a=2，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），求得直线MP，NP的方程，令y=0，求得点R，S的横坐标，结合M，P满足椭圆方程，求得R，S的横坐标之积，再由基本不等式即可得到最小值．

解答 解：（1）依题意，得a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1；
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1．
（2）点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）
则直线MP的方程为：y-y0=$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$（x-x0），
令y=0，得xR=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$，同理：xS=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}+{y}_{1}}$，
故xRxS=$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{y}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}{{y}_{1}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}$ （**） 
又点M与点P在椭圆上，故x02=4（1-y02），x12=4（1-y12），
代入（**）式，得：
xRxS=$\frac{4（1-{{y}_{1}}^{2}）{{y}_{0}}^{2}-4（1-{{y}_{0}}^{2}）{{y}_{1}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{4（{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}）}{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}$=4
所以|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4，
|OR|+|OS|≥2$\sqrt{|OR|•|OS|}$=4，
当且仅当|OR|=|OS|=2，取得等号．
则|OR|+|OS|的最小值为4．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率和方程的运用，注意点满足椭圆方程，同时考查基本不等式的运用，具有一定的运算量，属于中档题．

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