题目内容

已知函数为实数)有极值,且在处的切线与直线平行.

   (1)求实数a的取值范围;

   (2)是否存在实数a,使得函数的极小值为1,若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由;

   (3)设

求证:.

(1)实数a的取值范围是

       (2)的极小值为1

       (3)证明见解析。


解析:

(1)

        由题意

                    ①  …………………………………………………………2分     

      

            ②

       由①、②可得,

       故实数a的取值范围是…………………………………4分                   (2)存在       ………………………………………5分

       由(1)可知

      

0

0

单调增

极大值

单调减

极小值

单调增

      

       .……………………………………………………7分

        ……………………………………8分

      

      

的极小值为1.………………………………9分      

   (3)

      

…………………………………………………10分

∴其中等号成立的条件为.……………………………………………………13分.  ……………………………………………14分

另证:当n=1时,左=0,右=0,原不等式成立. …………………………………11分  

假设nk ()时成立,即

即当时原不等式成立.……………………………………………………13分

综上当成立. …………………………………14分

         ………………14分

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