题目内容
【题目】在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=1,AA1=2,E,F,G分别是棱AA1,AC和A1C1的中点,以为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.
(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值;
(2)求二面角F-BC1-C的余弦值.
【答案】(1).(2)
.
【解析】
(1)先根据空间直角坐标系,求得向量和向量
的坐标,再利用线线角的向量方法求解.
(2)分别求得平面BFC1的一个法向量和平面BCC1的一个法向量,再利用面面角的向量方法求解.
规范解答 (1) 因为AB=1,AA1=2,则F(0,0,0),A,C
,B
,E
,
所以=(-1,0,0),
=
记异面直线AC和BE所成角为α,
则cosα=|cos〈〉|=
=
,
所以异面直线AC和BE所成角的余弦值为.
(2) 设平面BFC1的法向量为= (x1,y1,z1).
因为=
,
=
,
则
取x1=4,得平面BFC1的一个法向量为=(4,0,1).
设平面BCC1的法向量为=(x2,y2,z2).
因为=
,
=(0,0,2),
则
取x2= 得平面BCC1的一个法向量为
=(
,-1,0),
所以cos〈〉=
=
根据图形可知二面角F-BC1-C为锐二面角,
所以二面角F-BC1-C的余弦值为.
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