题目内容

设 $数学公式$ ，其中实常数a≥-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；
（Ⅱ）试研究函数f（x）的基本性质，并证明你的结论．

解：（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-1，定义域为R
当a＞-1时，由于1+2^x＞0恒成立，所以函数f（x）的定义域为R
又 $\text{[math]}$ ，
当a＞-1时，因为2^x＞0，所以2^x+1＞1，
$\text{[math]}$ ，从而-1＜f（x）＜a，
所以函数f（x）的值域为（-1，a）．
综上，当a=-1时，函数值为-1；当a＞-1时，函数值域是（-1，a）．
（Ⅱ）假设函数f（x）是奇函数，则，对于任意的x∈R，有f（-x）=-f（x）成立，
即 $\text{[math]}$ 化简得（a-1）（1+2^x）=0得a=1
∴当a=1时，函数f（x）是奇函数．
当a＞-1，且a≠1时，函数f（x）是非奇非偶函数．
∵对于任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，a＞-1
有 $\text{[math]}$
当a＞-1时，函数f（x）是递减函数．
分析：（Ⅰ）由函数的解析式易得定义域为R，由于a的取值范围不同，函数的值域形式不同，要分a=-1，a＞-1两种情况研究函数值域；
（II）函数的性质主要是批函数的单调性，奇偶性，根据函数的解析式，先判断出性质再依据定义证明即可．
点评：本题研究一个与指数有关的性质的研究，涉及到了函数的定义域值域单调性奇偶性，解题的关键理解函数的性质，且能掌握函数性质的证明方法，本题求值域时对函数解析式分离常数是重点，研究函数奇偶性时，对参数的取值范围进行讨论是本题的难点．