Question

我们把数列{a_n^k}叫做数列{a_n}的k方数列（其中a_n＞0，k，n是正整数），S（k，n）表示k方数列的前n项和．
（Ⅰ）试比较S（1，2）•S（3，2）与[S（2，2）]²的大小；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足：[S（1，n）]²=S（3，n），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题中的新定义分别表示出S（1，2），S（3，2）与S（2，2），进而表示出S（1，2）•S（3，2）与[S（2，2）]²的差，根据a_n＞0，判断差为非负数，即可比较出所求两式的大小；
（Ⅱ）根据原题的新定义分别表示出S（1，n）及S（3，n），代入已知的等式，再利用等差数列的求和公式化简等式左边的底数，得到S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³，当n大于等于2时，得到S_n-1²=a₁³+a₂³+…+a_n-1³，两式相减后，左边利用平方差公式分解因式，再根据S_n-S_n-1=a_n进行变形，求出S_n+S_n-1的值，进而当n大于等于3时，两式相减，再根据S_n-S_n-1=a_n进形变形，进而求出a_n-a_n-1的值及a₁的值，确定出数列{a_n}为等差数列，根据确定出的公差及首项写出通项公式即可．

解答：解：（Ⅰ）依条件知：
S（1，2）=a₁+a₂，S（3，2）=a₁³+a₂³，S（2，2）=a₁²+a₂²．（3分）
∴S（1，2）•S（3，2）-[S（2，2）]²
=（a₁+a₂）（a₁³+a₂³）-（a₁²+a₂²）²
=a₁a₂³+a₂a₁³-2a₁²a₂²
=a₁a₂（a₁-a₂）²，
∵a_n＞0，
∴S（1，2）•S（3，2）≥[S（2，2）]²；（6分）
（Ⅱ）由[S（1，n）]²=S（3，n）得：
（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³．n∈N^*．（7分）

S 2 n = a 3 1 + a 3 2 +…+ a 3 n S 2 n-1 = a 3 1 +…+ a 3 n-1 ，n≥2

⇒(Sn+Sn-1)•an=

a

3 n

，n≥2．又a_n＞0．
∴S_n+S_n-1=a_n²，n≥2．
则S_n-1+S_n-2=a_n-1²，n≥3，
将两式相减得：a_n+a_n-1=a_n²-a_n-1²，n≥3，又a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1，n≥3．（11分）又a₁²=a₁³且a₁≠0，
∴a₁=1．（a₂+1）²=a₂³+1且a₂＞0，
∴a₂=2，即a₂-a₁=1．
∴n≥2时均有a_n-a_n-1=1．
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
故a_n=1+（n-1）×1=n．（13分）

点评：此题考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式及求和公式，以及数列的函数特征，属于新定义型题，解答此类题要求学生认真审题，弄清题中的新定义，进而利用等差数列的性质、求和公式及递推公式S_n-S_n-1=a_n进行变形来解决问题．