Question

我们把数列{a_n^k}叫做数列{a_n}的k方数列（其中a_n＞0，k，n是正整数），S（k，n）表示k方数列的前n项的和．
（1）比较S（1，2）•S（3，2）与[S（2，2）]²的大小；
（2）若数列{a_n}的1方数列、2方数列都是等差数列，a₁=a，求数列{a_n}的k方数列通项公式．
（3）对于常数数列a_n=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列{a_n}的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列{a_n}的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程．

Answer 1

解：（1）S（1，2）=a₁+a₂，S（3，2）=a₁³+a₂³，S（2，2）=a₁²+a₂²…（2分）
∴S（1，2）•S（3，2）-[S（2，2）]²
=（a₁+a₂）（a₁³+a₂³）-（a₁²+a₂²）²…（4分）
=a₁a₂³+a₂a₁³-2a₁²a₂²
=a₁a₂（a₁-a₂）²
∵a_n＞0，，∴S（1，2）•S（3，2）≥[S（2，2）]²…（5分）
（2）设a_n-a_n-1=d，a_n²-a_n-1²=p…（7分）
则 d（a_n+a_n-1）=p…①d（a_n+1+a_n）=p…②
∴②-①得 2d²=0，∴d=p=0 …（9分）a_n=a_n-1，∴a_n^k-a_n-1^k=0
∴a_n^k=a^k…（11分）
（3）当a_n=n时，恒等式为[S（1，n）]²=S（3，n） …（15分）
证明：[S（1，n）]²=S（3，n）[S（1，n-1）]²=S（3，n-1），（n≥2，n∈N*）
相减得：a_n[S（1，n）+S（1，n-1）]=a_n³
∴[S（1，n）+S（1，n-1）]=a_n²[S（1，n-1）+S（1，n-2）]=a_n-1²
相减得：a_n+a_n-1=a_n²-a_n-1²，，a_n＞0a_n-a_n-1=1，，a₁=1
∴a_n=n…（18分）
分析：（1）由S（1，2）=a₁+a₂，S（3，2）=a₁³+a₂³，S（2，2）=a₁²+a₂²，知S（1，2）•S（3，2）-[S（2，2）]²=a₁a₂（a₁-a₂）²，由a_n＞0，知S（1，2）•S（3，2）≥[S（2，2）]²．
（2）设a_n-a_n-1=d，a_n²-a_n-1²=p，则d（a_n+a_n-1）=p，d（a_n+1+a_n）=p，2d²=0，所以d=p=0，a_n=a_n-1，由此能求出a_n^k=a^k．
（3）当a_n=n时，恒等式为[S（1，n）]²=S（3，n）．证明：[S（1，n）]²=S（3，n）[S（1，n-1）]²=S（3，n-1），（n≥2，n∈N*）相减得：a_n[S（1，n）+S（1，n-1）]=a_n³，[S（1，n）+S（1，n-1）]=a_n²[S（1，n-1）+S（1，n-2）]=a_n-1²，由此得证．
点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．