Question

【题目】已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a（a为常数）．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值是20，求f（x）在该区间上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）的定义域为R，f′（x）=﹣3x2+6x+9．

令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，

所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）

（2）解：∵f（x）=﹣x3+3x2+9x+a，∴f′（x）=﹣3x2+6x+9≥0，得x2﹣2x﹣3≤0，﹣1≤x≤3，列表如下；

x	﹣2	（﹣2，﹣1）	﹣1	（﹣1，2）	2
f′（x）		﹣	0	+
f（x）	a﹣14	递减	a﹣5	递增	a+ 22

∴f（x）最大值=f（2）=a+22，∴a+22=20，∴a=﹣2，∴f（x）最小值=f（﹣1）=a﹣5=﹣7

故函数的最小值是﹣7

【解析】（1）出导数，令导数小于0，解不等式求出函数的单调区间（2）先求出端点的函数值f（﹣2）与f（2），比较f（2）与f（﹣2）的大小，然后根据函数f（x）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，得到f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，建立等式关系求出a，从而求出函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．