Question

求函数f（x）=x²-2ax-1在[0，2]上的值域．

Answer 1

分析：先判断二次函数的开口方向及对称轴，然后根据对称轴与已知区间的位置关系进行求解函数的最值，进而可求值域

解答：解：∵函数f（x）的图象开口向上，对称轴为x=a
①当a＜0时，函数f（x）在[0，2]上单调递增
∴f（x）_max=f（2）=3-4a，f（x）_min=f（0）=-1
值域为[-1，3-4a]…（3分）
②当0≤a＜1时，函数f（x）在[0，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增
∴f（x）_max=f（2）=3-4a，f（x）_min=f（a）=-1-a²
值域为[-a²-1，3-4a]…（5分）
③当1≤a＜2时函数f（x）在[0，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增
∴f（x）_max=f（0）=-1，f（x）_min=f（a）=-1-a²
值域为[-a²-1，-1]…（8分）
④当a≥2时，函数f（x）在[0，2]上单调递减
∴f（x）_max=f（0）=-1，f（x）_min=f（2）=3-4a
值域为[3-4a，1]

点评：本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值的求解，解题的关键是确定函数的对称轴与区间的位置关系，体现了分类讨论思想的应用．