Question

已知直线与抛物线y²=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，点D的坐标为（2，1），则p的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直线OD斜率为，OD⊥AB，知直线AB方程为2x+y-5=0，代入抛物线方程得y²+py-5p=0，从而得到y₁y₂=-5p，再由OA⊥OB，能求出p．
解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直线OD斜率为，OD⊥AB，∴直线AB斜率为-2，
故直线AB方程为2x+y-5=0…（1）
将（1）代入抛物线方程得y²+py-5p=0，
则y₁y₂=-5p，
∵=2px₁，=2px₂，
则（y₁y₂）²=4p²x₁x₂，
故x₁x₂=，
∵OA⊥OB
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵p＞0，∴p=．
故选C．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．