题目内容

(本题满分12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在x=1处的切线不过第四象限且斜率为3,又坐标原点到切线的距离为,若x=时,y=f(x)有极值.

(1)求a、b、c的值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.

解析:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f/(x)=3x2+2ax+b

当x=1时,切线的斜率为3,可得2a+b=0                        

当x=时,y=f(x)有极值,则f/)=0,可得4a+3b+4=0          ‚

由‚解得a=2,b=-4

设切线的方程为y=3x+m

原点到切线的距离为

解得m=1

切线不过第四象限     m=1

由于切点的横坐标为x=1,f(1)=4

1+a+b+c=4     c=5          ………………………………………………(6分)

由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5   f/(x)=3x2+4x-4

令f/(x)=0得x=-2,x=

x

[-3,-2)

-2

(-2,)

(,1]

f/(x)

0

0

f(x)

极大值

极小值

f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=13,在x=处取得极小值f()=

又f(-3)=8,f(1)=4

f(x)在[-3,1]的最大值为13,最小值为.…………………………………(12分)
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