题目内容
(本题满分12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在x=1处的切线不过第四象限且斜率为3,又坐标原点到切线的距离为,若x=时,y=f(x)有极值.
(1)求a、b、c的值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.
解析:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f/(x)=3x2+2ax+b
当x=1时,切线的斜率为3,可得2a+b=0
当x=时,y=f(x)有极值,则f/()=0,可得4a+3b+4=0
由解得a=2,b=-4
设切线的方程为y=3x+m
原点到切线的距离为,
解得m=1
切线不过第四象限 m=1
由于切点的横坐标为x=1,f(1)=4
1+a+b+c=4 c=5 ………………………………………………(6分)
由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5 f/(x)=3x2+4x-4
令f/(x)=0得x=-2,x=
x | [-3,-2) | -2 | (-2,) | (,1] | |
f/(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 极大值 | 极小值 |
f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=13,在x=处取得极小值f()=
又f(-3)=8,f(1)=4
f(x)在[-3,1]的最大值为13,最小值为.…………………………………(12分)
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