Question

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中为常数）．
（1）若曲线与曲线只有一个公共点，求的取值范围；
（2）当时，求曲线上的点与曲线上的点的最小距离．

Answer 1

（Ⅰ）或，（Ⅱ）

解析试题分析：（Ⅰ）曲线M可化为，，
曲线N可化为，
若曲线M，N只有一个公共点，
则当直线N过点时满足要求，此时，
并且向左下方平行运动直到过点之前总是保持只有一个公共点，
当直线N过点时，此时，所以满足要求；
再接着从过点开始向左下方平行运动直到相切之前总有两个公共点，
相切时仍然只有一个公共点，联立 得，
，求得，
综上可求得t的取值范围是或．         （5分）
（Ⅱ）当时，直线N：，设M上的点为，
则曲线M上的点到直线N的距离为，
当时取等号，满足，所以所求的最小距离为．    （10分）
考点：本题考查了极坐标、参数方程与直角方程的互化，直线与抛物线的位置关系
点评：近几年的高考试题对选修4-4的考查都是以极坐标方程与参数方程混合命题，而且通常与直线和圆（圆锥曲线）联系．