题目内容

已知半椭圆 $数学公式$ 与半椭圆 $数学公式$ 组成的曲线称为“果圆”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F₀，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圆”与x，y轴的交点，
（1）若三角形F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若|A₁A|＞|B₁B|，求 $数学公式$ 的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
于是 $\text{[math]}$ ，
所求“果圆”方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

（2）由题意，得a+c＞2b，即 $\text{[math]}$ ．
∵（2b）²＞b²+c²=a²，∴a²-b²＞（2b-a）²，得 $\text{[math]}$ ．
又b²＞c²=a²-b²，
∴ $\text{[math]}$ ．∴ $\text{[math]}$ ．

（3）设“果圆”C的方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
记平行弦的斜率为k．
当k=0时，直线y=t（-b≤t≤b）与半椭圆 $\text{[math]}$ 的交点是P $\text{[math]}$ ，
与半椭圆 $\text{[math]}$ 的交点是Q $\text{[math]}$ ．
∴P，Q的中点M（x，y）满足 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ．
∵a＜2b，∴ $\text{[math]}$ ．
综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当k＞0时，以k为斜率过B₁的直线l与半椭圆 $\text{[math]}$ 的交点是 $\text{[math]}$ ．
由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线 $\text{[math]}$ 上，即不在某一椭圆上．
当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．
分析：（1）因为 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
由此可知“果圆”方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
（2）由题意，得 $\text{[math]}$ ，所以a²-b²＞（2b-a）²，得 $\text{[math]}$ ．再由 $\text{[math]}$ 可知 $\text{[math]}$ 的取值范围．
（3）设“果圆”C的方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．记平行弦的斜率为k．当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k＞0时，以k为斜率过B₁的直线l与半椭圆 $\text{[math]}$ 的交点是 $\text{[math]}$ ．由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线 $\text{[math]}$ 上，即不在某一椭圆上．
当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．

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