题目内容

已知半椭圆 $数学公式$ 与半椭圆 $数学公式$ 组成的曲线称为“果圆”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F₀，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圆”与x，y轴的交点，
（1）若三角形F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若|A₁A|＞|B₁B|，求 $数学公式$ 的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
于是 $\text{[math]}$ ，
所求“果圆”方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

（2）由题意，得a+c＞2b，即 $\text{[math]}$ ．
∵（2b）²＞b²+c²=a²，∴a²-b²＞（2b-a）²，得 $\text{[math]}$ ．
又b²＞c²=a²-b²，
∴ $\text{[math]}$ ．∴ $\text{[math]}$ ．

（3）设“果圆”C的方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
记平行弦的斜率为k．
当k=0时，直线y=t（-b≤t≤b）与半椭圆 $\text{[math]}$ 的交点是P $\text{[math]}$ ，
与半椭圆 $\text{[math]}$ 的交点是Q $\text{[math]}$ ．
∴P，Q的中点M（x，y）满足 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ．
∵a＜2b，∴ $\text{[math]}$ ．
综上所述，当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．
当k＞0时，以k为斜率过B₁的直线l与半椭圆 $\text{[math]}$ 的交点是 $\text{[math]}$ ．
由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线 $\text{[math]}$ 上，即不在某一椭圆上．
当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．
分析：（1）因为 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
由此可知“果圆”方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
（2）由题意，得 $\text{[math]}$ ，所以a²-b²＞（2b-a）²，得 $\text{[math]}$ ．再由 $\text{[math]}$ 可知 $\text{[math]}$ 的取值范围．
（3）设“果圆”C的方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．记平行弦的斜率为k．当k=0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当k＞0时，以k为斜率过B₁的直线l与半椭圆 $\text{[math]}$ 的交点是 $\text{[math]}$ ．由此，在直线l右侧，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线 $\text{[math]}$ 上，即不在某一椭圆上．
当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．

练习册系列答案

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已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中a²＝b²＋c²，a＞0，b＞c＞0，F₀，F₁，F₂是对应的焦点．

(1)若三角形F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

(2)若｜A₁A｜＞｜B₁B｜，求的取值范围；

(3)一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由．

（07年上海卷理）（18分）

已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中。如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，

（1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；

（2）若，求的取值范围；

（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。

已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，是对应的焦点。A₁，A₂和B₁，B₂是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段A₁A₂的中点．
(1) 若三角形是底边F₁F₂长为6，腰长为5的等腰三角形，求“果圆”的方程；
(2)若“果圆”方程为：，过F₀的直线l交“果圆”于y轴右边的Q，N点，求△OQN的面积S_△OQN的取值范围
(3) 若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．