Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AC∩BD=0，AB=2，∠ABC=60°，E，F分别为棱BB₁，CC₁上的点，EC=BC=2FB，M是AE的中点．
（1）求证FM∥BO
（2）求平面AEF与平面ABCD所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）连接MF，MO后，由EC=BC=2FB，M是AE的中点，我们易判断出四边形OBFM为平行四边形，结合平行四边形的性质，即可得到结论．
（2）延长EF，DB交于G，连接AG．则平面AEF∩平面ABCD=AG．再证出AG⊥AC AG⊥AE，则∠EAC即为所求的平面角．解直角三角形EAC即可获解．

解答：解：（1）如图所示，
连接MF，MO                                      
∵EC=2FB，EC∥F
∴MO是△ACE的中位线
∴2OM=CE，OM∥CE
∴OM=FM，OM∥FB
∴四边形OBFM为平行四边形
∴BO∥MF
（2）由（1）知AG⊥AC，
又  AA₁⊥AG，且AA₁∩AC=A，于是知AG⊥面AC，
∴∠EAC是 平面AEF与平面ABCD所成锐二面角的平面角．
∵AB=2，底面是菱形，且∠ABC=60°，∴AC=2，
在直角三角形ECA中，AE=2

2

   
，sin∠EAC=

2

2

，
∴∠EAC=

π

4

         
∴平面AEF与平面ABCD所成锐二面角的大小是

π

4

                                           

点评：本题考查空间中直线与直线的位置关系的证明、二面角的求法，平行四边形的性质是线线平行与线面平行平行常用的连接纽带，二面角的求解时，先作出或在图中找出它的平面角，再去解三角形，把空间问题转化成平面问题．