Question

求证：任何一个实系数的三次方程x³+px+q=0（p、q为常数）至少有一个实根.

Answer 1

证明：∵f（x）=x³+px+q在R上有定义，在闭区间［－M，M］上连续，取M为充分大，使＜且＜成立，则f（－M）=（－M）³+p（－M）+q=－M³（1+－）＜0，f（M）=M³+pM+q=M³（1++）＞0.借助几何图形，由连续性知道至少存在一点x=c（c∈［－M，M］），使f（c）=0，因此方程x³+px+q=0至少有一个实根x=c.