Question

求证:任何一个实系数一元三次方程a₀x³+a₁x²+a₂x+a₃=0(a₀,a₁,a₂,a₃∈R,a₀≠0)至少有一个实数根.

Answer 1

证明略

解析:

设f(x)=a₀x³+a₁x²+a₂x+a₃,函数f(x)在(－∞,+∞)连续，

且x→+∞时，f(x)→+∞;x→－∞时，f(x)→－∞,

所以必存在a∈(－∞,+∞),b∈(－∞,+∞),使f(a)·f(b)＜0,

所以f(x)的图像至少在(a,b)上穿过x轴一次，即f(x)=0至少有一实根.