题目内容

设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B(其中A、B为常数,n=l,2,3,…).

(1)

求A与B的值

(2)

证明:数列{an}为等差数列

(3)

证明:不等式>1对任何正整数m、n都成立.

答案:
解析:

(1)

  解析:(1)由已知.得S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18.

  由(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B知

  解得A=-20,B=-8.

(2)

  方法一 由(1)得,(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8 ①.所以(5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+l=-20n-28②.

  ②-①.得(5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+1+(5n+2)Sn=-20 ③.所以(5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20④.

  ④-③,得(5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0.

  因为an+1=Sn+l-Sn,所以(5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0.

  又因为5n+2≠0,所以an+3-2an+2+an+1=0,

  即an+3-an+2=an+2-an+1,n≥1.

  又a3-a2=a2-a1=5,

  所以数列{an}为等差数列.

  方法二 由已知.S1=a1=1,

  又(5n-8)Sn+l-(5n+2)Sn=-20n-8,且5n-8≠0。

  所以数列{Sn}是惟一确定的,因而数列{an}是惟一确定的.

  设bn=5n-4,则数列{bn}为等差数列,前n项和Tn

  于是(5n-8)Tn+1-(5n+2)Tn=(5n-8)-(5n+2)=-20n-8,

  由惟一性得bn=an,即数列{an}为等差数列.

(3)

  由(2)可知,an=1+5(n-1)=5n-4.

  要证>1,只要证5amn>l+aman+2

  因为amn=5mn-4,aman=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,

  故只要证5(5mn-4)>1+25mn-20(m+n)+16+2,即只要证20m+20n-37>2

  因为2≤am+an=5m+5n-8<5m+5n-8+(15m+15n-29)=20m+20n-37,所以命题得证.

  点评:此高考题是一道数列与不等式的综合题,(1)、(2)两小题考生容易入手,第(3)小题采用了基本不等式、分析法、放缩法等证明技巧.


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