题目内容

已知直线y=mx+3m和曲线 $数学公式$ 有两个不同的交点，则实数m的取值范围是________．

$\text{[math]}$
分析：由题意，直线y=mx+3m经过定点P（-3，0），以m为斜率．同一坐标系内作出直线y=mx+3m和曲线 $\text{[math]}$ ，得到它们相切时直线PA的斜率m的值，由此将直线绕P点旋转并观察交点个数与m的变化，即可得到实数m的取值范围．
解答：

解：∵直线y=mx+3m=m（x+3）经过定点P（-3，0），以m为斜率
曲线 $\text{[math]}$ 是以原点为圆心，半径r=2的圆的上半圆
∴同一坐标系内作出它们的图象，如图
当直线与半圆切于A点时，它们有唯一公共点，
此时，直线的倾斜角α满足sinα= $\text{[math]}$
∴cosα= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可得直线的斜率m=tanα= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
当直线y=mx+3m的倾斜角由此位置变小时，两图象有两个不同的交点，直线斜率m变成0为止
由此可得当0≤m＜ $\text{[math]}$ 时，直线y=mx+3m和曲线 $\text{[math]}$ 有两个不同的交点
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题给出直线与半圆有两个公共点，求实数m的取值范围．着重考查了直线与圆的位置关系、恒过定点的直线和同角三角函数基本关系等知识，属于基础题．

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