Question

已知函数f(x)=2cos2

x

2

+sinx-1
（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（2）若 x∈(

π

2

，

3π

4

)，且f(x)=

1

5

，求sinx的值．

Answer 1

分析：（1）函数解析式第一、三项结合，利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出f（x）的最小正周期；由余弦函数的值域即可求出函数的值域；
（2）由x的范围求出这个角的范围，由f（x）=

1

5

，求出cos（x-

π

4

）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（x-

π

4

）的值，将sinx中的x变形为（x-

π

4

）+

π

4

，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将各自的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵f（x）=cosx+sinx=

2

cos（x-

π

4

），
∴函数f（x）的周期为2π，
又∵-1≤cos（x-

π

4

）≤1，
则函数f（x）的值域为[-

2

，

2

]；
（2）∵f（x）=

2

cos（x-

π

4

）=

1

5

，
∴cos（x-

π

4

）=

2

10

，
∵x∈（

π

2

，

3π

4

），∴x-

π

4

∈（

π

4

，

π

2

），
∴sin（x-

π

4

）=

1-cos2(x- π 4 )

=

7 2

10

，
则sinx=sin[（x-

π

4

）+

π

4

]=sin（x-

π

4

）cos+cos（x-

π

4

）sin

π

4

=

7 2

10

×

2

2

+

2

10

×

2

2

=

4

5

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，余弦函数的定义域与值域，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．