Question

已知a、b∈R，向量=（x，1），=（-1，b-x），函数f（x）=a-是偶函数．
（1）求b的值；
（2）若在函数定义域内总存在区间[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，求实数a的取值范围．

Answer 1

解（1）由已知可得，，且函数的定义域为D=．
又y=f（x）是偶函数，故定义域D关于原点对称．
于是，b=0．
又对任意x∈D有f（x）=f（-x）
因此所求实数b=0．
（2）由（1）可知，（D=（-∞，0）∪（0，+∞）．
考察函数的图象，可知：f（x）在区间（0，+∞）上增函数．
f（x）在区间（-∞，0）上减函数
因y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，故必有m，n同号．
①当0＜m＜n时，f（x）在 区间[m，n]上是增函数有，即方程，也就是2x²-2ax+1=0有两个不相等的正实数根，因此，解得．
②当m＜n＜0时，f（x）区间[m，n]上是减函数有，化简得（m-n）a=0，
解得a=0．
综上所述，所求实数a的取值范围a=0或．
分析：（1）利用向量的数量积公式求出f（x），利用偶函数的定义列出方程f（x）=f（-x）恒成立，求出b的值．
（2）先判断出f（x）的单调性，对x分段讨论求出函数f（x）的最值，列出方程组，求出a 的值．
点评：解决函数的奇偶性问题常利用奇函数、偶函数的定义得到恒成立的等式，注意具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称．