题目内容

如图，圆与离心率为的椭圆（）相切于点.

(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)过点引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点、与点、（均不重合）.
(ⅰ)若为椭圆上任一点，记点到两直线的距离分别为、，求的最大值；
(ⅱ)若，求与的方程.

(Ⅰ)。
(Ⅱ) 的方程为，的方程为
或的方程为，的方程为。

解析试题分析：(Ⅰ)由题意: 解得   2分
椭圆的方程为                            3分
(Ⅱ)（ⅰ）设因为⊥,则因为
所以            5分
因为 
所以当时取得最大值为，此时点        6分
（ⅱ）设的方程为,由解得
由   解得                    8分
同理可得，                  10分
所以，
，
由得解得        13分
所以的方程为，的方程为
或的方程为，的方程为             14分
考点：本题主要考椭圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线椭圆的位置关系，圆的切线。
点评：难题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，a,b,c,e的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）结合向量的坐标运算，确定得到k的方程，为进一步确定直线方程奠定基础。

练习册系列答案
相关题目

已知椭圆(a>b>0)抛物线，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：



4

1

2
4

2
（1）求的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若,

(i) 求的最值.
(ii) 求四边形ABCD的面积；

已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、 构成等差数列．

（1）求椭圆的方程；
（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且，． 求四边形面积的最大值．

已知椭圆的左、右焦点分别是，Q是椭圆外的动点，满足．点是线段与该椭圆的交点，点T是的中点．

（Ⅰ）设为点的横坐标，证明；
（Ⅱ）求点T的轨迹的方程．

已知：圆过椭圆的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线与圆相切 ，与椭圆相交于A，B两点记 
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）求的面积S的取值范围.

已知点是直线被椭圆所截得的线段中点，求直线的方程。

已知椭圆的对称轴为坐标轴,焦点是（0，），（0，），又点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线的斜率为,若直线与椭圆交于、两点,求面积的最大值.

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；

椭圆与轴负半轴交于点，为椭圆第一象限上的点，直线交椭圆于另一点，椭圆左焦点为，连接交于点D。
（1）如果，求椭圆的离心率； 
（2）在（1）的条件下，若直线的倾斜角为且△ABC的面积为，求椭圆的标准方程。

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