题目内容
已知α、β、γ为互不相等的锐角，且tanα=
，求证：tanβ=
．
| sinβsinγ |
| cosβ-cosγ |
| sinαsinγ |
| cosα+cosγ |
考点：同角三角函数基本关系的运用
专题：计算题,三角函数的求值
分析：根据已知有sinα=
，cosα=
，代入
化简可证等于tanβ．
| sinβsinγ | ||
|
| cosβ-cosγ | ||
|
| sinαsinγ |
| cosα+cosγ |
解答：
证明：∵tanα=
，α、β、γ为互不相等的锐角，
∴sinα=
，cosα=
，
∵计算分母可得：
（sinβsinγ）2+（cosβ-cosγ）2
=sin2βsin2γ+cos2β-2cosβcosγ+cos2γ
=（1-cos2β）（1-cos2γ）+cos2β-2cosβcosγ+cos2γ
=1-cos2β-cos2γ+cos2βcos2γ+cos2β-2cosβcosγ+cos2γ
=1-2cosβcosγ+cos2βcos2γ
=（1-cosβcosγ）2，
∴sinα=
，cosα=
，
∴
=
=
=
=tanβ．
从而得证．
| sinβsinγ |
| cosβ-cosγ |
∴sinα=
| sinβsinγ | ||
|
| cosβ-cosγ | ||
|
∵计算分母可得：
（sinβsinγ）2+（cosβ-cosγ）2
=sin2βsin2γ+cos2β-2cosβcosγ+cos2γ
=（1-cos2β）（1-cos2γ）+cos2β-2cosβcosγ+cos2γ
=1-cos2β-cos2γ+cos2βcos2γ+cos2β-2cosβcosγ+cos2γ
=1-2cosβcosγ+cos2βcos2γ
=（1-cosβcosγ）2，
∴sinα=
| sinβsinγ |
| 1-cosβcosγ |
| cosβ-cosγ |
| 1-cosβcosγ |
∴
| sinαsinγ |
| cosα+cosγ |
=
| sinβsinγsinγ |
| (cosβ-cosγ)+cosγ(1-cosβcosγ) |
=
| sinβsin2γ |
| (cosβ-cosγ+cosγ-cosβcos2γ) |
=
| sinβsin2γ |
| cosβ(1-cos2γ) |
=tanβ．
从而得证．
点评：本题主要考察了同角三角函数基本关系的运用，三角函数式子的化简要灵活运用公式，善于发现已知中的隐藏条件，属于基本知识的考查．
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