Question

已知：矩形AEFD的两条对角线相交于点M（2，0），AE边所在直线的方程为：x-3y-6=0，点T（-1，1）在AD边所在直线上．
（1）求矩形AEFD外接圆P的方程．
（2）△ABC是⊙P的内接三角形，其重心G的坐标是（1，1），求直线BC的方程．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性质得到直线AD与直线AB垂直，因为两直线垂直时斜率的乘积为-1，所以由直线AB的斜率得到直线AD的斜率，又直线AD过点N，由N的坐标和求出的直线AD的斜率写出直线AD的方程，与直线AB的方程联立即可求出点A的坐标，然后利用两点间的距离公式求出|AM|的长即为矩形外接圆的半径，根据矩形的性质得到矩形外接圆的圆心即为点M，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．
（2）连AG延长交BC于点N（x₀，y₀），则N点是BC中点，连MN，由G是△ABC的重心，可知

AG

=2

GN

，从而（1，3）=2（x₀-1，y₀-1），即

x0= 3 2 y0= 5 2

，又M是圆心，N是BC中点，∴MN⊥BC，且 K_MN=-5，从而KBC=

1

5

，故可求直线BC的方程．

解答：解：（1）设A点坐标为（x，y）
∵KAE=

1

3

且 AE⊥AD，∴K_AD=-3又T（-1，1）在AD上，∴

x-3y-6=0 y-1 x+1 =-3

，∴

x=0 y=-2

即A点的坐标为（0，-2）
又∵M点是矩形AEFD两条对角线的交点，∴M点（2，0）即为矩形AEFD外接圆的圆心，其半径r=|MA|=2

2

∴⊙P的方程为（x-2）²+y²=8
（2）连AG延长交BC于点N（x₀，y₀），则N点是BC中点，连MN
∵G是△ABC的重心，∴

AG

=2

GN

，∴（1，3）=2（x₀-1，y₀-1），∴

x0= 3 2 y0= 5 2

∵M是圆心，N是BC中点，∴MN⊥BC，且 K_MN=-5，∴KBC=

1

5

，∴y-

5

2

=

1

5

(x-

3

2

)即直线BC的方程为x-5y+11=0

点评：此题考查学生掌握矩形的性质及两直线垂直时斜率的关系，灵活运用两点间的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道中档题．