Question

求由下列条件所决定圆x²+y²=4的圆的切线方程：
（1）经过点P(

3，

1)，（2）经过点Q（3，0），（3）斜率为-1．

Answer 1

分析：（1）当切线斜率不存在时，直线与圆位置关系是相交，不合题意，所以设切线方程的斜率为k，根据P的坐标写出切线的方程，然后根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于半径r列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据求出的k的值和P的坐标写出切线方程即可；
（2）当切线斜率不存在时，直线与圆位置关系是外离，不合题意，所以设出切线方程的斜率为k，根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于圆的半径r列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，由k的值和Q的坐标写出切线方程即可；
（3）设出切点的坐标为（a，b），根据已知的斜率为-1，表示出切线的方程，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于圆的半径r列出关于a与b的绝对值关系式，经讨论得到关于a与b的两关系式，分别记作①和②，把切点的坐标代入圆的方程，得到关于a与b的关系式，记作③，把①③联立，②③联立，分别求出两对a与b的值，得到切点的坐标有两个，根据求出的切点坐标和已知的切线的斜率写出切线方程即可．

解答：解：（1）经判断，得到点P在圆上，
当斜率k不存在时，直线与圆相交，不合题意，所以设切线方程的斜率为k，
则切线方程为：y-1=k（x-

3

），
所以圆心（0，0）到直线的距离d=

|1- 3 k|

k2+1

=r=2，
化简得：(k+

3

)2=0，解得k=-

3

，
所以切线方程为：y=-

3

x+4；

（2）当直线斜率不存在时，直线与圆外离，不合题意，设过点Q的切线方程的斜率为k，
则切线方程为y=k（x-3），
所以圆心到直线的距离d=

|-3k|

k2+1

=r=2，
化简得：k=±

2 5

5

，
所以切线方程为：y=

2 5

5

x-

6 5

5

或y=-

2 5

5

x+

6 5

5

；

（3）设切点坐标为（a，b），则切线方程为：y-a=-（x-b），即x+y-a-b=0，
所以圆心到直线的距离d=

|a+b|

2

=2，即a+b=2

2

①或a+b=-2

2

②，
又把切点坐标代入圆的方程得：a²+b²=4③，
由①得：a=2

2

-b，代入③得：a=b=

2

；由②得：a=-2

2

-b，代入③得：a=b=-

2

，
所以切点坐标分别为（

2

，

2

）或（-

2

，-

2

），
则切线方程为：y-

2

=-（x-

2

）或y+

2

=-（x+

2

），
即x+y-2

2

=0或x+y+2

2

=0．

点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．