题目内容
求由下列条件所决定圆x2+y2=4的圆的切线方程:
(1)经过点,(2)经过点Q(3,0),(3)斜率为-1.
解:(1)经判断,得到点P在圆上,
当斜率k不存在时,直线与圆相交,不合题意,所以设切线方程的斜率为k,
则切线方程为:y-1=k(x-),
所以圆心(0,0)到直线的距离d==r=2,
化简得:=0,解得k=-,
所以切线方程为:y=-x+4;
(2)当直线斜率不存在时,直线与圆外离,不合题意,设过点Q的切线方程的斜率为k,
则切线方程为y=k(x-3),
所以圆心到直线的距离d==r=2,
化简得:k=±,
所以切线方程为:y=x-或y=-x+;
(3)设切点坐标为(a,b),则切线方程为:y-a=-(x-b),即x+y-a-b=0,
所以圆心到直线的距离d==2,即a+b=2①或a+b=-2②,
又把切点坐标代入圆的方程得:a2+b2=4③,
由①得:a=2-b,代入③得:a=b=;由②得:a=-2-b,代入③得:a=b=-,
所以切点坐标分别为(,)或(-,-),
则切线方程为:y-=-(x-)或y+=-(x+),
即x+y-2=0或x+y+2=0.
分析:(1)当切线斜率不存在时,直线与圆位置关系是相交,不合题意,所以设切线方程的斜率为k,根据P的坐标写出切线的方程,然后根据直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d,让d等于半径r列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,根据求出的k的值和P的坐标写出切线方程即可;
(2)当切线斜率不存在时,直线与圆位置关系是外离,不合题意,所以设出切线方程的斜率为k,根据直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d,让d等于圆的半径r列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,由k的值和Q的坐标写出切线方程即可;
(3)设出切点的坐标为(a,b),根据已知的斜率为-1,表示出切线的方程,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d,让d等于圆的半径r列出关于a与b的绝对值关系式,经讨论得到关于a与b的两关系式,分别记作①和②,把切点的坐标代入圆的方程,得到关于a与b的关系式,记作③,把①③联立,②③联立,分别求出两对a与b的值,得到切点的坐标有两个,根据求出的切点坐标和已知的切线的斜率写出切线方程即可.
点评:此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径,灵活运用点到直线的距离公式化简求值,是一道中档题.
当斜率k不存在时,直线与圆相交,不合题意,所以设切线方程的斜率为k,
则切线方程为:y-1=k(x-),
所以圆心(0,0)到直线的距离d==r=2,
化简得:=0,解得k=-,
所以切线方程为:y=-x+4;
(2)当直线斜率不存在时,直线与圆外离,不合题意,设过点Q的切线方程的斜率为k,
则切线方程为y=k(x-3),
所以圆心到直线的距离d==r=2,
化简得:k=±,
所以切线方程为:y=x-或y=-x+;
(3)设切点坐标为(a,b),则切线方程为:y-a=-(x-b),即x+y-a-b=0,
所以圆心到直线的距离d==2,即a+b=2①或a+b=-2②,
又把切点坐标代入圆的方程得:a2+b2=4③,
由①得:a=2-b,代入③得:a=b=;由②得:a=-2-b,代入③得:a=b=-,
所以切点坐标分别为(,)或(-,-),
则切线方程为:y-=-(x-)或y+=-(x+),
即x+y-2=0或x+y+2=0.
分析:(1)当切线斜率不存在时,直线与圆位置关系是相交,不合题意,所以设切线方程的斜率为k,根据P的坐标写出切线的方程,然后根据直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d,让d等于半径r列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,根据求出的k的值和P的坐标写出切线方程即可;
(2)当切线斜率不存在时,直线与圆位置关系是外离,不合题意,所以设出切线方程的斜率为k,根据直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d,让d等于圆的半径r列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,由k的值和Q的坐标写出切线方程即可;
(3)设出切点的坐标为(a,b),根据已知的斜率为-1,表示出切线的方程,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d,让d等于圆的半径r列出关于a与b的绝对值关系式,经讨论得到关于a与b的两关系式,分别记作①和②,把切点的坐标代入圆的方程,得到关于a与b的关系式,记作③,把①③联立,②③联立,分别求出两对a与b的值,得到切点的坐标有两个,根据求出的切点坐标和已知的切线的斜率写出切线方程即可.
点评:此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径,灵活运用点到直线的距离公式化简求值,是一道中档题.
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