Question

设是两个互相垂直的单位向量，已知向量且向量，
（1）求f（k）的表达式．
（2）求f（k）的值域及夹角θ=60°时的k值．
（3）在（1）的条件下解关于k的不等式：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，可求=2k，=，，代入f（k）=cosθ=可求
（2）由1+2k²≥2k可得f（k）∈（0，1]结合θ=60°可知cosθ=，可求k
（3）由（1）可得f[f（k）]==?，k＞0，分类讨论：分a＞0时，当a=0时，当a＜0时，三种情况分别求解
解答：解：（1）∵∴，
∵
∴==2k
∵=，同理可得  
∴f（k）=cosθ==（k＞0）…（4分）
（2）因为1+2k²≥2k当且仅当k=1时等号成立
所以f（k）∈（0，1]，
当θ=60°时，cosθ=
∴  （8分）
（3）由（1）可得f[f（k）]=f（）==
?4k³+4k＜-3ak²+（4+a²）k
?k（4k²+3ak-a²）＜0
?，
∵k＞0
当a＞0时，解可得0＜k＜
当a=0时，解为k＜0且k＞0，此时k不存在
当a＜0时，解为0＜k＜-a
综上所述：当a＞0时，解集为{k|0＜k＜}；
当a=0时，解集为∅
当a＜0时，解集为{k|0＜k＜-a}（12分）
点评：本题主要考查了向量的数量积的应用，向量夹角公式的应用，及不等式的求解，属于综合试题