Question

13．三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA和等边△ABC边长均等于a，则该三棱锥的外接球表面积等于（　　）

• A． $\frac{7π{a}^{2}}{12}$
• B． $\frac{7π{a}^{2}}{3}$
• C． 4a²π
• D． 12a²π

Answer 1

分析 由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，可得球的半径R，即可求出三棱锥的外接球表面积

解答 解：根据已知中底面△ABC是边长为a的正三角形，SA⊥底面ABC，
可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，
∵△ABC是边长为A的正三角形，
∴△ABC的外接圆半径r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=$\frac{a}{2}$，故球的半径R=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{3}+\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\sqrt{\frac{7}{12}}$a，
故三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR²=$\frac{7π{a}^{2}}{3}$
故选：B．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，由题意明确三棱锥外接球是以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球是解答的关键．