Question

已知函数f(x)=x³-x²+ax+b(a，b∈R)的一个极值点为x=1，方程ax²+x+b=0的两个实根为α，β（α＜β），函数f(x)在区间[α，β]上是单调的，
(Ⅰ)求a的值和b的取值范围；
(Ⅱ)若x₁，x₂∈[α，β]，证明：|f(x₁)-f(x₂)|≤1。

Answer 1

(Ⅰ)解：∵f(x)=x³-x²+ax+b，
∴f′(x)=3x²-2x+a，
∵f(x)=x³-x²+ax+b的一个极值点为x=1，
∴ f′(1)=3×1²-2×1+a=0，∴a=-1，
∴f′(x)=3x²-2x-1=(3x+1)(x-1)，
当时，；当时，；当x＞1时，；
∴函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∵方程ax²+x+b=0的两个实根为α，β，即x²-x-b=0的两根为α，β（α＜β），
∴，
∴，
∵函数f(x)在区间[α，β] 上是单调的，
∴区间[α，β]只能是区间之一的子区间，
由于，故，
若α＜0，则α+β＜1，与α+β=1矛盾；
∴，
∴方程x²-x-b=0的两根为α，β都在区间[0，1]上，
令的对称轴为，
则，解得：，
∴实数b的取值范围是。
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知函数f(x)在区间[α，[α，β]]上单调递减，
∴函数f(x)在区间[α，β]上的最大值为f（α），最小值为f(β)，
∵x₁，x₂∈[α，β]，
∴

令，则，
，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴函数在(0，1]上单调递增，
∴h(t)≤h(1)=1，
∴|f(x₁)-f(x₂)|≤1。