Question

（在给出的二个题中，任选一题作答．若多选做，则按所做的第一题给分）
（1）（坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线ρcos²θ=2sinθ的焦点的极坐标为

（

1

2

，

π

2

）

．
（2）（不等式选讲）若不等式

x+a

≥x(a＞0)的解集为{x|m≤x≤n}，且|m-n|=2a，则a的取值集合为

{2}

．

Answer 1

分析：（1）若点P在直角坐标系中的坐标为（x，y），在极坐标系中的坐标为（ρ，θ），则有关系式：

x=ρcosθ y=ρsinθ

．根据此公式将曲线转化成x²=2y，得到曲线是开口向上的抛物线，以F（0，

1

2

）为焦点，再将点F化成极坐标即可；
（2）根据题意，不等式的解集应该是曲线y=

x+a

位于直线y=x上方的部分为符合题意的图象，观察其横坐标，可得x=n是方程

x+a

=x的一个解，且|m-n|=m+a=2a，建立方程组，解之可得a的取值集合．

解答：解：（1）由ρcos²θ=2sinθ得ρ²cos²θ=2ρsinθ
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ
∴曲线的直角坐标方程为：x²=2y，是以F（0，

1

2

）为焦点，开口向上的抛物线，
再将F化成极坐标形式为：(

1

2

，

π

2

)
（2）根据不等式

x+a

≥x作出如右图的示意图，
曲线y=

x+a

位于直线y=x上方的部分为符合题意的图象，观察其横坐标
可得区间[m，n]即[-a，n]，说明（n，0）在曲线y=

x+a

-x上
即：

n2-n=a m=-a n-m=2a

解之得：n=a=2
故答案为：（

1

2

，

π

2

），{2}

点评：本题第一小问考查了简单曲线的极坐标方程，以及极坐标与直角坐标的互化，第二小问考查了不等式的解集求法和不等式的基本性质，都属于中档题．