题目内容
(在给出的二个题中,任选一题作答.若多选做,则按所做的第一题给分)(1)(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线ρcos2θ=2sinθ的焦点的极坐标为______.
(2)(不等式选讲)若不等式的解集为{x|m≤x≤n},且|m-n|=2a,则a的取值集合为______.
【答案】分析:(1)若点P在直角坐标系中的坐标为(x,y),在极坐标系中的坐标为(ρ,θ),则有关系式:.根据此公式将曲线转化成x2=2y,得到曲线是开口向上的抛物线,以F(0,)为焦点,再将点F化成极坐标即可;
(2)根据题意,不等式的解集应该是曲线y=位于直线y=x上方的部分为符合题意的图象,观察其横坐标,可得x=n是方程的一个解,且|m-n|=m+a=2a,建立方程组,解之可得a的取值集合.
解答:解:(1)由ρcos2θ=2sinθ得ρ2cos2θ=2ρsinθ
∵x=ρcosθ,y=ρsinθ
∴曲线的直角坐标方程为:x2=2y,是以F(0,)为焦点,开口向上的抛物线,
再将F化成极坐标形式为:
(2)根据不等式作出如右图的示意图,
曲线y=位于直线y=x上方的部分为符合题意的图象,观察其横坐标
可得区间[m,n]即[-a,n],说明(n,0)在曲线y=上
即:
解之得:n=a=2
故答案为:(),{2}
点评:本题第一小问考查了简单曲线的极坐标方程,以及极坐标与直角坐标的互化,第二小问考查了不等式的解集求法和不等式的基本性质,都属于中档题.
(2)根据题意,不等式的解集应该是曲线y=位于直线y=x上方的部分为符合题意的图象,观察其横坐标,可得x=n是方程的一个解,且|m-n|=m+a=2a,建立方程组,解之可得a的取值集合.
解答:解:(1)由ρcos2θ=2sinθ得ρ2cos2θ=2ρsinθ
∵x=ρcosθ,y=ρsinθ
∴曲线的直角坐标方程为:x2=2y,是以F(0,)为焦点,开口向上的抛物线,
再将F化成极坐标形式为:
(2)根据不等式作出如右图的示意图,
曲线y=位于直线y=x上方的部分为符合题意的图象,观察其横坐标
可得区间[m,n]即[-a,n],说明(n,0)在曲线y=上
即:
解之得:n=a=2
故答案为:(),{2}
点评:本题第一小问考查了简单曲线的极坐标方程,以及极坐标与直角坐标的互化,第二小问考查了不等式的解集求法和不等式的基本性质,都属于中档题.
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