Question

已知曲线x²+2y²+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点D（0，2）的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设

DM

=λ

MN

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）原曲线即为（x+2）²+2（y+1）²=2，按向量a=（2，1）平移即是把函数向右平移2个单位，向上平移1个单位后得到曲线C．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

DM

=λ

MN

，可得

x1= λx2 1+λ y1= 2+λy2 1+λ .

由点M、N在椭圆x²+2y²=2上，代入方程整理可得即y₂=

2λ-3

4λ

．结合椭圆的性质可知-1≤y₂≤1，代入可求λ的取值范围．

解答：解：（1）原曲线即为（x+2）²+2（y+1）²=2，则平移后的曲线C为x²+2y²=2，
即

x2

2

+y²=1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则

x1= λx2 1+λ y1= 2+λy2 1+λ .

由于点M、N在椭圆x²+2y²=2上，则

x12+2y12=2 x22+2y22=2

即

( λx2 1+λ )2+2( 2+λy2 1+λ )2=2 x22+2y22=2.

消去x₂²得，2λ²+8λy₂+8=2λ²+4λ+2，
即y₂=

2λ-3

4λ

．
∵-1≤y₂≤1，
∴-1≤

2λ-3

4λ

≤1．
又∵λ＞0，故解得λ≥

1

2

．
故λ的取值范围为[

1

2

，+∞）．
思考讨论本题：若设出直线l的方程y=kx+2，然后与x²+2y²=2联立，利用韦达定理能求解吗？（不要忘记讨论斜率不存在的情况）读者可尝试一下．

点评：本题主要考查了曲线的平移，向量共线的坐标表示，直线与椭圆的相交关系的综合应用，试题的思路比较清晰，但需要考生具备一定的运算能力及逻辑推理能力．