Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，且公差d＞0，它的第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对n∈N^*均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₁的值；
（3）求数列{a_nb_n}的前n项和S_n；并求满足S_n＜168的最大正整数n．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式将第二项，第五项，第十四项用{a_n}的首项与公差表示，再据此三项成等比数列，列出方程，求出公差，利用等差数列及等比数列的通项公式求出数列{a_n}与{b_n}的通项公式．
（2）再写一式，两式相减，求出数列的通项，即可求数列的和．
（3）利用错位相减法求和，利用S_n＜168，建立不等式，从而可求满足条件S_n＜168最大的正整数．

解答：解：（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d）
∵d＞0
∴d=2
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
∴b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
故数列{b_n}的公比是3，
∴b_n=3•3^n-2=3^n-1
（2）由

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1
得当n≥2时，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=a_n
两式相减得

cn

bn

=a_n+1-a_n=2，
∴c_n=2b_n=2×3^n-1（n≥2）
n=1时，c₁=3
∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₁=3+2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹¹=3²⁰¹¹
（3）S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1+3×3+5×3²+…+（2n-1）×3^n-1 ①
∴3S_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）×3^n-1+（2n-1）3ⁿ ①
①-②得：-2S_n=-1+2（1+3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n-1）×3ⁿ
∴S_n=1+（n-1）3ⁿ
∵S_n是递增数列，且知S₃=55，S₄=244
∴满足S_n＜168的最大正整数n=3．

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式，考查数列的求和，考查学生的计算能力，属于中档题．