题目内容

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(1)当x为多少米时,用料最省?
(2)如果大棚的高度设计在[
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分析:(1)利用平面几何知识,把横截面上底、下底和腰都用高x表示,直接写出周长,然后利用基本不等式求出最小值;
(2)利用函数单调性的定义证出周长关于高度的函数在[
,2]范围内为减函数,则横截面周长的最小值可求.
(2)利用函数单调性的定义证出周长关于高度的函数在[
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解答:解:(1)由题意知:
(AD+BC)x=9
,AD=BC+2x•
=BC+
x,
所以
(2BC+
x)x=9
,解得BC=
-
x.
设横截面周长为l,则l=2AB+BC=
+
-
x
=
x+
≥6
,
当
x=
,即x=3时等号成立,所以横截面周长的最小值为6
,
此时大棚高x为3米;
(2)由(1)知横截面周长l=
x+
=
(x+
).
设
≤x1<x2≤2,
因为x2+
-x1-
=(x2-x1)(1-
),
当
≤x1<x2≤2时,x2-x1>0,1-
>0,
所以(x2-x1)(1-
)>0,则l是x在[
,2]的减函数,
所以lmin=
×2+
=
(米),当x=2时取得最小值.
所以如果大棚的高度设计在[
,2]范围内,横截面周长的最小值为
米.
1 |
2 |
3 |
1 |
tan60° |
2
| ||
3 |
所以
1 |
2 |
2
| ||
3 |
3 |
9
| ||
x |
| ||
3 |
设横截面周长为l,则l=2AB+BC=
2x |
sin60° |
9
| ||
x |
| ||
3 |
=
3 |
9
| ||
x |
3 |
当
3 |
9
| ||
x |
3 |
此时大棚高x为3米;
(2)由(1)知横截面周长l=
3 |
9
| ||
x |
3 |
9 |
x |
设
3 |
因为x2+
9 |
x2 |
9 |
x1 |
9 |
x1x2 |
当
3 |
9 |
x1x2 |
所以(x2-x1)(1-
9 |
x1x2 |
3 |
所以lmin=
3 |
9
| ||
2 |
13
| ||
2 |
所以如果大棚的高度设计在[
3 |
13
| ||
2 |
点评:本题考查了根据实际问题对函数模型的选择及应用,考查了函数单调性的判断方法,训练了利用基本不等式求函数最值,是中档题.

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