题目内容

某蔬菜基地准备建一批蔬菜大棚,蔬菜大棚的横截面为如图所示的等腰梯形,∠ABC=120°,按照设计要求,其横截面面积为9
3
平方米.为了使建造的大棚用料最省,横截面的周长(梯形的底BC与两腰长的和)必须最小.设大棚高为x米.
(1)当x为多少米时,用料最省?
(2)如果大棚的高度设计在[
3
,2
]范围内,求横截面周长的最小值.
分析:(1)利用平面几何知识,把横截面上底、下底和腰都用高x表示,直接写出周长,然后利用基本不等式求出最小值;
(2)利用函数单调性的定义证出周长关于高度的函数在[
3
,2
]范围内为减函数,则横截面周长的最小值可求.
解答:解:(1)由题意知:
1
2
(AD+BC)x=9
3
AD=BC+2x•
1
tan60°
=BC+
2
3
3
x

所以
1
2
(2BC+
2
3
3
x)x=9
3
,解得BC=
9
3
x
-
3
3
x

设横截面周长为l,则l=2AB+BC=
2x
sin60°
+
9
3
x
-
3
3
x
  
=
3
x+
9
3
x
≥6
3

3
x=
9
3
x
,即x=3时等号成立,所以横截面周长的最小值为6
3

此时大棚高x为3米;                               
(2)由(1)知横截面周长l=
3
x+
9
3
x
=
3
(x+
9
x
)

3
x1x2≤2

因为x2+
9
x2
-x1-
9
x1
=(x2-x1)(1-
9
x1x2
)

3
x1x2≤2
时,x2-x1>0,1-
9
x1x2
>0

所以(x2-x1)(1-
9
x1x2
)>0
,则l是x在[
3
,2]
的减函数,
所以lmin=
3
×2+
9
3
2
=
13
3
2
(米),当x=2时取得最小值.
所以如果大棚的高度设计在[
3
,2
]范围内,横截面周长的最小值为
13
3
2
米.
点评:本题考查了根据实际问题对函数模型的选择及应用,考查了函数单调性的判断方法,训练了利用基本不等式求函数最值,是中档题.
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