Question

某蔬菜基地准备建一批蔬菜大棚，蔬菜大棚的横截面为如图所示的等腰梯形，∠ABC=120°，按照设计要求，其横截面面积为9

3

平方米．为了使建造的大棚用料最省，横截面的周长（梯形的底BC与两腰长的和）必须最小．设大棚高为x米．
（1）当x为多少米时，用料最省？
（2）如果大棚的高度设计在[

3

，2]范围内，求横截面周长的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用平面几何知识，把横截面上底、下底和腰都用高x表示，直接写出周长，然后利用基本不等式求出最小值；
（2）利用函数单调性的定义证出周长关于高度的函数在[

3

，2]范围内为减函数，则横截面周长的最小值可求．

解答：解：（1）由题意知：

1

2

(AD+BC)x=9

3

，AD=BC+2x•

1

tan60°

=BC+

2 3

3

x，
所以

1

2

(2BC+

2 3

3

x)x=9

3

，解得BC=

9 3

x

-

3

3

x．
设横截面周长为l，则l=2AB+BC=

2x

sin60°

+

9 3

x

-

3

3

x  
=

3

x+

9 3

x

≥6

3

，
当

3

x=

9 3

x

，即x=3时等号成立，所以横截面周长的最小值为6

3

，
此时大棚高x为3米；                               
（2）由（1）知横截面周长l=

3

x+

9 3

x

=

3

(x+

9

x

)．
设

3

≤x1＜x2≤2，
因为x2+

9

x2

-x1-

9

x1

=(x2-x1)(1-

9

x1x2

)，
当

3

≤x1＜x2≤2时，x2-x1＞0，1-

9

x1x2

＞0，
所以(x2-x1)(1-

9

x1x2

)＞0，则l是x在[

3

，2]的减函数，
所以lmin=

3

×2+

9 3

2

=

13 3

2

（米），当x=2时取得最小值．
所以如果大棚的高度设计在[

3

，2]范围内，横截面周长的最小值为

13 3

2

米．

点评：本题考查了根据实际问题对函数模型的选择及应用，考查了函数单调性的判断方法，训练了利用基本不等式求函数最值，是中档题．