题目内容

某蔬菜基地准备建一批蔬菜大棚，蔬菜大棚的横截面为如图所示的等腰梯形，∠ABC=120°，按照设计要求，其横截面面积为9 $数学公式$ 平方米．为了使建造的大棚用料最省，横截面的周长（梯形的底BC与两腰长的和）必须最小．设大棚高为x米．
（1）当x为多少米时，用料最省？
（2）如果大棚的高度设计在[ $数学公式$ ]范围内，求横截面周长的最小值．

解：（1）由题意知： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
设横截面周长为l，则 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ ，即x=3时等号成立，所以横截面周长的最小值为 $\text{[math]}$ ，
此时大棚高x为3米；
（2）由（1）知横截面周长l= $\text{[math]}$ ．
设 $\text{[math]}$ ，
因为 $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，则l是x在 $\text{[math]}$ 的减函数，
所以 $\text{[math]}$ （米），当x=2时取得最小值．
所以如果大棚的高度设计在[ $\text{[math]}$ ]范围内，横截面周长的最小值为 $\text{[math]}$ 米．
分析：（1）利用平面几何知识，把横截面上底、下底和腰都用高x表示，直接写出周长，然后利用基本不等式求出最小值；
（2）利用函数单调性的定义证出周长关于高度的函数在[ $\text{[math]}$ ]范围内为减函数，则横截面周长的最小值可求．
点评：本题考查了根据实际问题对函数模型的选择及应用，考查了函数单调性的判断方法，训练了利用基本不等式求函数最值，是中档题．