题目内容
已知圆
，圆上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的
倍，得一椭圆E，
(1)求椭圆E的方程，并证明椭圆E的离心率是与
无关的常数；
(2)若m=1，是否存在直线
过P(0，2)，与椭圆交于M、N两点，且满足
=0(O为坐标原点)?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)设M(u，
)是圆上任一点，N(
，y)是椭圆上的对应点，
则=
u，y=，即
代入圆方程得
．
即椭圆E的方程为
，椭圆的长半轴为
m，短半轴长为m,
半焦距为
m.离心率
与m无关。
(2)椭圆方程为
．
假设存在直线
：
（k存在，且k≠0），代入椭圆方程．
整理，得(1+
∴△=(
)2－36(1+3
)>0．
解得
<一1或>1． ①
设M(
，
)， (
，
)，则+=－
，=
∵
∴+=0
即+(k+2)(k+2)=0，∴(1+k2 ) +2k(+)+4=0
∴
解得
,满足式①，∴满足条件的直线存在，其方程为
=
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