题目内容
(本小题满分14分)
设函数().
(1)当时,求的最小值;
(2)若,将的最小值记为,求的表达式;
(3)当时,关于的方程有且仅有一个实根,求实数的取值范围.
设函数().
(1)当时,求的最小值;
(2)若,将的最小值记为,求的表达式;
(3)当时,关于的方程有且仅有一个实根,求实数的取值范围.
(1)由已知有:
,……………………………2分
∵
∴
∴当时,………………………………………………4分
(2)由于,∴ ,
∴ 当 时,则时,;
当 时,则时,;
当 时,则当时,;
综上, . ……………………………8分
(3)当 时,,
方程 即,
即方程在区间有且仅有一个实根,……………………………9分
令 ,则有:
解法一、①若
∴ ………………………………………………………………10分
② 或
综上所述,当时,方程在区间有且仅有一个实根.……14分
解法二、由零点存在定理得
①, ,
∴; …………………………………………………………………10分
②当时,
,此时,符合题意;
③当时, ,此时,符合题意;
综上,当时,方程在区间有且仅有一个实根.……14分
,……………………………2分
∵
∴
∴当时,………………………………………………4分
(2)由于,∴ ,
∴ 当 时,则时,;
当 时,则时,;
当 时,则当时,;
综上, . ……………………………8分
(3)当 时,,
方程 即,
即方程在区间有且仅有一个实根,……………………………9分
令 ,则有:
解法一、①若
∴ ………………………………………………………………10分
② 或
综上所述,当时,方程在区间有且仅有一个实根.……14分
解法二、由零点存在定理得
①, ,
∴; …………………………………………………………………10分
②当时,
,此时,符合题意;
③当时, ,此时,符合题意;
综上,当时,方程在区间有且仅有一个实根.……14分
略
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