Question

甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构型为一个各条棱都相等的四面体，四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都是a，若将碳原子和氢原子均视为一个点，则任意两个氢原子之间的距离为

 

．

Answer 1

分析：由题意立即联想到正四面体的外接球，而正四面体又可以看作是正方体的六条面对角线围成的图形，因此，将正四面体补成一个正方体，从而建立相关量之间的关系．

解答：解：显然，四面体的四个顶点在以中心（碳原子）为球心，中心到各顶点（氢原子）的距离为半径的球面上，
如图，将此正四面体ABCD补成正方体BD′，
其中A′、B′、D′也在球面上，
设任意两个氢原子之间的距离为x，则2a=BD′．
 BD′、AB（x）、AA′之间的关系是x=AB=

2

AA′，2a=BD'=

3

AA′，
 因此

2

2

x=

2 3

3

a，∴x=

2 6

3

a，即两个个氢原子的距离

2 6

3

a．
故答案为：

2 6

3

a

点评：在立体几何中，我们常常将四面体补成正四面体或平行六面体、正四面体补成正方体、过同一个顶点的三条棱两两垂直的四面体补成长方体、四棱锥补成平行六面体，等等，掌握这些补形规律，有助于提高解题能力．