题目内容
设有半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇．设A、B两人速度一定，其速度比为3：1，问两人在何处相遇？分析：先根据题意，以村落中心为坐标原点，向东的方向为x轴建立直角坐标系，根据两人的速度关系设其速度及各点，将实际问题转化为数学问题，利用图形中的直角三角形得到5x0=4y0，代入直线的斜率公式可得直线的斜率，再利用直线与圆相切即可的直线方程，也就得到了该问题的解．
解答：
解：如图，建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/小时，
v千米/小时，再设出发x0小时，在点P改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇．
则P、Q两点坐标为（3vx0，0），（0，vx0+vy0）．由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2知，
（3vx0）2+（vx0+vy0）2=（3vy0）2，
即（x0+y0）（5x0-4y0）=0．∵x0+y0＞0，∴5x0=4y0①
将①代入kPQ=-
，得kPQ=-
．
又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置．
设直线y=-
x+b与圆O：x2+y2=9相切，
则有
=3，b=
答：A、B相遇点在离村中心正北3
千米处．
解：如图，建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/小时，v千米/小时，再设出发x0小时，在点P改变方向，又经过y0小时，在点Q处与B相遇．
则P、Q两点坐标为（3vx0，0），（0，vx0+vy0）．由|OP|2+|OQ|2=|PQ|2知，
（3vx0）2+（vx0+vy0）2=（3vy0）2，
即（x0+y0）（5x0-4y0）=0．∵x0+y0＞0，∴5x0=4y0①
将①代入kPQ=-
| x0+y0 |
| 3x0 |
| 3 |
| 4 |
又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置．
设直线y=-
| 3 |
| 4 |
则有
| |4b| | ||
|
| 15 |
| 4 |
答：A、B相遇点在离村中心正北3
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查了圆的方程的综合应用，在这个题中注意解决实际问题的基本步骤，及题目条件的转化，体现了转化思想和数形结合思想，是个中档题．
练习册系列答案
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设有半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发．B一直向北直行；A先向东直行，出村后一段时间，改变前进方向，沿着与村落边界相切的直线朝B所在的方向前进．
设有半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发．B一直向北直行；A先向东直行，出村后一段时间，改变前进方向，沿着与村落边界相切的直线朝B所在的方向前进．