Question

设有半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发．B一直向北直行；A先向东直行，出村后一段时间，改变前进方向，沿着与村落边界相切的直线朝B所在的方向前进．
（1）若A在距离中心5km的地方改变方向，建立适当坐标系，求：A改变方向后前进路径所在直线的方程
（2）设A、B两人速度一定，其速度比为3：1，且后来A恰与B相遇．问两人在何处相遇？（以村落中心为参照，说明方位和距离）

Answer 1

分析：（1）建立坐标系，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于5，即可求得直线方程；
（2）先确定PQ的斜率，设出直线方程，利用PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置，即可求得结论．

解答：解：（1）建立如图坐标系，则P（5，0），
设直线方程为y=k（x-5）（k＜0），由圆心到直线的距离等于5，可得

|-5k|

k2+1

=3
∴k=±

3

4

，∵k＜0，∴k=-

3

4

∴A改变方向后前进路径所在直线的方程为y=-

3

4

x+

15

4

；
（2）由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/小时，v千米/小时，
再设A出发x₀小时，在点P改变方向，又经过y₀小时，在点Q处与B相遇．
则P、Q两点坐标为（3vx₀，0），（0，vx₀+vy₀）．
由|OP|²+|OQ|²=|PQ|²知，（3vx₀）²+（vx₀+vy₀）²=（3vy₀）²，
即（x₀+y₀）（5x₀-4y₀）=0．
∵x₀+y₀＞0，∴5x₀=4y₀…①
将①代入kPQ=-

x0+y0

3x0

，∴kPQ=-

3

4

．
又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置．
设直线y=-

3

4

x+b与圆O：x²+y²=9相切，则有

|4b|

32+42

=3，∴b=

15

4

．
答：A、B相遇点在村落中心正北距离

15

4

千米处

点评：本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．