Question

有三个生活小区，分别位于A，B，C三点处，且，．今计划合建一个变电站，为同时方便三个小区，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，建立坐标系如图，且．
（Ⅰ）若希望变电站P到三个小区的距离和最小，点P应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P到三个小区的最远距离为最小，点P应位于何处？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）方法一：∠PBO=α，表示出点P到A，B，C的距离之和为y，利用导数，求出函数的最小值；
方法二：设点P（0，b）（0≤b≤40），P到A，B，C的距离之和为，再利用导数求出函数的最小值．
（Ⅱ）设点P（0，b）（0≤b≤40），则|PA|=40-b，点P到A，B，C三点的最远距离为g（b）求出
g（b）=，当0≤b≤5时，g（b）=40-b在[0，5]上是减函数，当5＜b≤40时，在（5，40]上是增函数，推出g（b）＞g（5）=35，得到当b=5时，g（b）_min=35，这时点P在OA上距O点5km．
解答：解：在Rt△AOB中，y=k₂x，则（1分）
（Ⅰ）方法一：∠PBO=α（），
点P到A，B，C的距离之和为（5分），令y′=0即，
又，从而
当时，y′＜0；当时，y'＞0．
∴当时，取得最小值
此时，
即点P为OA的中点．（8分）
方法二：设点P（0，b）（0≤b≤40），
则P到A，B，C的距离之和为，
求导得（5分）
由f'（b）=0即，解得b=20
当0≤b＜20时，f′（b）＜0；当20＜b≤40时，f'（b）＞0
∴当b=20时，f（b）取得最小值，此时点P为OA的中点．（8分）
（Ⅱ）设点P（0，b）（0≤b≤40），则|PA|=40-b，
点P到A，B，C三点的最远距离为g（b）
①若|PA|≥|PB|即，则g（b）=40-b；
②若|PA|＜|PB|即，则；
∴g（b）=（11分）
当0≤b≤5时，g（b）=40-b在[0，5]上是减函数，∴g（b）_min=g（5）=35
当5＜b≤40时，在（5，40]上是增函数，∴g（b）＞g（5）=35
∴当b=5时，g（b）_min=35，这时点P在OA上距O点5km．（14分）
点评：本题考查两点间距离公式的应用，利用导数求闭区间上函数的最值，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．