题目内容

.已知定义域为的函数对任意实数满足:,且不是常函数,常数使,给出下列结论:①;②是奇函数;③是周期函数且一个周期为;④内为单调函数.其中正确命题的序号是___________.
根据题意,在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中,令y=0可得,
2f(x)=2f(x)f(0),又由f(x)不是常函数,即f(x)=0不恒成立,则f(0)=1,依次分析4个命题可得:对于①、在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中,令x=y=,
可得,结合f(0)=1,f(t)=0,可得,则可得,故①错误.
对于②、在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中,令x=0,可得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),f(y)+f(-y)=0不恒成立,f(x)不是奇函数,故②错误.
对于③、在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中,令y=t可得,在f(x+t)+f(x-t)=2f(x)f(t)=0,即f(x+t)=-f(x-t),则f(x+3t)=-f(x+t)=f(x-t),即f(x+3t)=f(x-t),则f(x)是周期函数且一个周期为4t,③正确.
对于④、根据题意,无法判断f(x)的单调性,则④错误.故答案为③.
练习册系列答案
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