题目内容
(2010•宿松县三模)已知函数f(x)=loga+2[ax2+(a+2)x+a+2]有最值,则a的取值范围是( )
分析:令u(x)=ax2+(a+2)x+a+2,转化为u(x)在定义域上能取得最值,结合二次函数图象与性质求解.
解答:解:由已知,须a+2>0,且a+2≠1.即a>-2,且a≠-1.
令u(x)=ax2+(a+2)x+a+2,原函数的定义域由u(x)>0求得.
①当a>0时,u(x)=ax2+(a+2)x+a+2的图象为开口向上的抛物线,
若f(x)有最值,则u(x)图象与x轴不相交,即须△=(a+2)2-4a(a+2)=-3a2-4a+4<0,
解得a>
或<-2,
∴a>
②当a=0时,u(x)=ax2+(a+2)x+a+2=2x+2,原函数定义域为(1,+∞),在(1,+∞)上u(x)不存在最值.从而f(x)无最值.
③当-2<a<0,且a≠-1时,u(x)=ax2+(a+2)x+a+2的图象为开口向下的抛物线,若f(x)有最值,则须u(x)图象与x轴交于不同两点.即须△=(a+2)2-4a(a+2)=-3a2-4a+4>0,解得-2<a<
,∴-2<a<0,且a≠-1.
综上所述a的取值范围是a>
,或-2<a<0且a≠-1.
故选A
令u(x)=ax2+(a+2)x+a+2,原函数的定义域由u(x)>0求得.
①当a>0时,u(x)=ax2+(a+2)x+a+2的图象为开口向上的抛物线,
若f(x)有最值,则u(x)图象与x轴不相交,即须△=(a+2)2-4a(a+2)=-3a2-4a+4<0,
解得a>
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∴a>
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3 |
②当a=0时,u(x)=ax2+(a+2)x+a+2=2x+2,原函数定义域为(1,+∞),在(1,+∞)上u(x)不存在最值.从而f(x)无最值.
③当-2<a<0,且a≠-1时,u(x)=ax2+(a+2)x+a+2的图象为开口向下的抛物线,若f(x)有最值,则须u(x)图象与x轴交于不同两点.即须△=(a+2)2-4a(a+2)=-3a2-4a+4>0,解得-2<a<
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综上所述a的取值范围是a>
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故选A
点评:本题考查复合函数的性质,考查转化、计算、数形结合的思想和能力.
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