Question

①在极坐标系中，点A（2，-

π

3

）到直线l：ρcos(θ-

π

6

)=1的距离为

1

②（不等式选讲选做题） 设函数f（x）=|x-2|+x，g（x）=|x+1|，则g（x）＜f（x）成立时x的取值范围

（-3，1）∪（3，+∞）

．

Answer 1

分析：①化点、直线的极坐标为直角坐标，利用点到直线的距离公式，我们可以得到结论．
②利用零点分段法，分别讨论当x≤-1时，当-1＜x＜2时和当x≥2时，不等式g（x）＜f（x）的解集，最后综合讨论结果，即可得到答案．

解答：解：①A（2，-

π

3

）的直角坐标为（1，-

3

），…（2分）
直线l：ρcos(θ-

π

6

)=1的直角坐标方程为：

3

x+y-2=0，…（5分）
利用点到直线的距离公式可得：d=

| 3 - 3 -2|

4

=1，
故答案为：1．…（10分）
②（2）∵g（x）＜f（x），∴|x+1|＜|x-2|+x，∴|x-2|-|x+1|+x＞0，…（4分）
①当x≤-1时，-（x-2）+（x+1）+x＞0，∴x＞-3，∴-3＜x≤-1．…（6分）
②当-1＜x＜2时，-（x-2）-（x+1）+x＞0，∴x＜1，∴-1＜x＜1．…（8分）
③当x≥2时，（x-2）-（x+1）+x＞0，∴x＞3，∴x＞3．
综上，x∈（-3，1）∪（3，+∞）．
故答案为：（-3，1）∪（3，+∞）．…（10分）

点评：①极坐标中的问题，通常是转化为直角坐标，进行解决，掌握转化公式是解决这类问题的关键．
②本题考查的知识点是带绝对值的函数，其中利用零点分段法，将绝对值函数转化为分段函数的形式，是解答本题的关键．