题目内容

设单调递增等比数列{an}满足a1+a2+a3=7，且a3是a1，a2+5的等差中项，
（1）求数列{an}的通项；
（2）数列{cn}满足：对任意正整数n，
c1
a1
+
c2
a2
+…+
cn
an
=22+
2n-11
2n-1
均成立，求数列{cn}的前n项和．
分析：（1）将已知条件a1+a2+a3=7，且a3是a1，a2+5的等差中项，用基本量表示，列出方程组，求出首项与公比，利用等比数列的通项公式求出数列{an}的通项．
（2）根据已知等式仿写出新等式
c1
a1
+
c2
a2
+…+
cn-1
an-1
=22+
2n-13
2n-2
，两式相减求出数列{cn}的通项，利用等差数列的前n项和公式求出数列{cn}的前n项和．
解答：解：（1）设等比数列{an}的公比为q，则
a1+a1q+a1q2=7
a1+a1q+5=2a1q2
，
两式相减，得a1q2=4，（3分）
代入第一方程得
4
q2
+
4
q
+4=7，
解得q=2或q=-
2
3
（舍），
又a1=1，
所以an=2n-1（6分）
（2）对任意正整数n，
c1
a1
+
c2
a2
+…+
cn
an
=22+
2n-11
2n-1
均成立，
n=1时，c1=13（8分）
当n≥2时，
c1
a1
+
c2
a2
+…+
cn-1
an-1
=22+
2n-13
2n-2
，
两式相减得
cn
an
=
2n-11
2n-1
-
2n-13
2n-2
=
15-2n
2n-1
所以n≥2时，cn=15-2n，
n=1也满足此式 （12分）
∴Sn=
(13+15-2n)n
2
=-n2+14n（14分）
点评：解决等差数列、等比数列的有关问题，一般利用通项公式及前n项和公式列出方程组，求出基本量，然后在解决．
练习册系列答案
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在单调递增数列{an}中，a1=1，a2=2，且a2n-1，a2n，a2n+1成等差数列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比数列，n=1，2，3，…．
（1）分别计算a3，a5和a4，a6的值；
（2）求数列{an}的通项公式（将an用n表示）；
（3）设数列{
1
an
}的前n项和为Sn，证明：Sn＜
4n
n+2
，n∈N*．
（2011•东城区二模）在单调递增数列{an}中，a1=2，不等式（n+1）an≥na2n对任意n∈N*都成立．
（Ⅰ）求a2的取值范围；
（Ⅱ）判断数列{an}能否为等比数列？说明理由；
（Ⅲ）设bn=(1+1)(1+
1
2
)…(1+
1
2n
)，cn=6(1-
1
2n
)，求证：对任意的n∈N*，
bn-cn
an-12
≥0．
设单调递增等比数列{an}满足a1+a2+a3=7，且a3是a1，a2+5的等差中项，
（1）求数列{an}的通项；
（2）数列{cn}满足：对任意正整数n，++…+=22+均成立，求数列{cn}的前n项和．
设单调递增等比数列{an}满足a1+a2+a3=7，且a3是a1，a2+5的等差中项，
（1）求数列{an}的通项；
（2）数列{cn}满足：对任意正整数n，++…+=22+均成立，求数列{cn}的前n项和．

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