题目内容
已知f(x)在(-1，1)上有定义，f(
)＝1，且满足当x，y∈(-1，1)时，有f(x)-f(y)＝f(
)，数列{xn}中有x1＝
，xn+1＝
.(1)证明f(x)在(-1，1)上为奇函数；
(2)求f(xn)的表达式；
(3)是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，有
+
+…+
＜
成立？若存在，求出m的最小值.
(1)证明：当x=y时，f(0)=0；
令x=0，得f(0)-f(y)=f(-y)，即f(y)+f(-y)=0,
∴对任意的x∈(-1，1)，有f(x)+f(-x)=0.
故f(x)在(-1，1)上为奇函数.
(2)解：∵数列{xn}满足x1=，xn+1=.
∴0＜xn＜1.
∴f(xn)-f(-xn)=f［］=f().
又f(x)在(-1，1)为奇函数,
∴f(xn+1)=2f(xn).
由f()=1，x1=，有f(x1)=1,从而f(xn)=2n-1.
(3)解:++…+
=1+
+
+…+
=2-
.
假设存在自然数m，使得对于任意的n∈N*，
有
+
+…+
＜
成立，即2-
＜
恒成立.
∴
≥2，解得m≥16. 1
∴.存在自然数m≥16，使得对于任意n∈N*，有
+
+…+
＜
成立.
此时，m的最小值为16.
练习册系列答案
相关题目
)=1，对于x，y∈(-1，1)有f(x)-f(y)=f(
)恒成立，对数列{xn}有x1=
，xn+1=
(n∈N*)．
恒成立?若存在，求出m的最小值．
)=1且满足x,y∈(-1,1)时有f(x)-f(y)=f(
),对数列{xn}满足x1=
,xn+1=
.
+
+…+
＞
恒成立？若存在，求出m的最大值.
)=1且满足x,y∈(-1,1)时有f(x)-f(y)=f(
),若数列{xn}满足x1=
,xn+1=
.
+
+
+…+
＜
恒成立？若存在，求出m的最小值;若不存在，请说明理由.