题目内容
已知f(x)在(-1，1)上有定义f(
)=1，对于x，y∈(-1，1)有f(x)-f(y)=f(
)恒成立，对数列{xn}有x1=
，xn+1=
(n∈N*)．(1)证明：f(x)在(-1，1)上为奇函数；
(2)求f(xn)的表达式；
(3)是否存在自然数m，使得对于任意n∈N*，
恒成立?若存在，求出m的最小值．
(1)当x=y=0时，f(0)=0，再令x=0得f(0)-f(y)=f(-y)，即f(y)+f(-y)=0
∴f(x)在(-1，1)上为奇函数．
(2)由x1=，xn+1=(n∈N*)易知{xn}中0＜xn＜1，
∵f(xn)-f(-xn)=f()且f(x)在(-1，1)上为奇函数
∴f(xn+1)=2f(xn)，由f()=1，x1=
∴f(x1)=1
∴{f(xn)}是以1为首项、2为公比的等比数列
∴f(xn)=2n-1．
(3)
假设存在m使得
恒成立，即2
恒成立，
∵2
＜2，∴
≥2，∴m≥16，∴存在自然数m≥16，使得
+…+ 
＜
成立，此时最小的自然数m=16．
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)＝1，且满足当x，y∈(-1，1)时，有f(x)-f(y)＝f(
)，数列{xn}中有x1＝
，xn+1＝
.
+
+…+
＜
成立？若存在，求出m的最小值.
)=1且满足x,y∈(-1,1)时有f(x)-f(y)=f(
),对数列{xn}满足x1=
,xn+1=
.
+
+…+
＞
恒成立？若存在，求出m的最大值.
)=1且满足x,y∈(-1,1)时有f(x)-f(y)=f(
),若数列{xn}满足x1=
,xn+1=
.
+
+
+…+
＜
恒成立？若存在，求出m的最小值;若不存在，请说明理由.